Nous avons dit précédemment que le moment cinétique était équivalent pour la rotation à ce qu’est la quantité de mouvement pour la translation. Toujours en faisant un parallèle avec ce qui a été vu sur le moment cinétique, si \(\Delta\) est un axe orienté par le vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_{\Delta}}\), le moment d’une force par rapport à l’axe (\(\Delta\)) s’écrit : \begin{equation}\boxed{\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) \centerdot \overrightarrow{u_{\Delta}}}\end{equation}. Ainsi, comme la quantité de mouvement est reliée à la masse inertielle (grandeur qui exprime la résistance qu’oppose un corps au changement de son mouvement) et à la vitesse linéaire, le moment cinétique est relié à une quantité représentant l’inertie de rotation d’un corps, appelée moment d’inertie, et à la vitesse angulaire. Il est la projection du moment cinétique par rapport à un point de l’axe sur celui-ci. En résumé, avec le bilan des forces, les équations du mouvement déduites du théorème du centre d'inertie sont : Trois inconnues (les deux composantes de la réaction du plan et l'accélération linéaire) pour deux équations, la résolution complète nécessite une équation supplémentaire qui provient du théorème du moment cinétique. Cependant pour des corps homogènes et de formes géométriques simples, l’expression du moment d’inertie est simple : Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’un cerceau de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = mR^2\) ; Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’un cylindre ou d’un disque de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = \frac{1}{2}mR^2\) ; Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’une sphère de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = \frac{2}{5}mR^2\) ; Soit O un point fixe du référentiel d’étude \(\mathcal{R}\) .Écrivons ce théorème mathématiquement : \begin{equation}\boxed{\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} = \sum_i \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F_i})}\end{equation}. Un cours sur les méthodes numériques (Euler, Runge-Kutta), Le cours sur les lois de l'optique géométrique en mp3, Ensemble de vidéos complémentaires sur le cours 2 de méthodes scientifiques, Cours d'électrocinétique sur les résonances du circuit RLC série, Une vidéo d'électromagnétisme : l'effet Hall, Une vidéo de mécanique : base polaire, définition et utilisation dans le pendule simple, Une vidéo de mécanique : méthode d'Euler, explications et exemple, Une vidéo d'optique : principe du microscope, Une vidéo d'optique : principe de la lunette astronomique, Une vidéo d'optique : principe de la lunette de Galilée, Une vidéo d'optique : Application des lois de l'optique géométrique : le prisme, Une vidéo d'électrostatique : calcul du champ créé par un fil infini par la méthode intégral, Cours d'électrocinétique du le régime sinusoïdal, Résumé de cours sur les notions d'induction, Résumé de cours sur le circuit RLC série, Un cours d'électromagnétisme sur quelques notions d'induction, Une vidéo d'électrocinétique sur le circuit RLC série, Une vidéo d'électrocinétique sur la charge d'un condensateur, MS2 : Pratiques de la démarche scientifique, TD M24 : TD sur le système isolé à deux corps, TD M23 : TD sur les changements de référentiels, M23 : changement de référentiels, référentiels non galiléens, M22 : mouvement d'un point M soumis à une force centrale, TD M21 sur le théorème du moment cinétique, O2 : généralités sur les systèmes optiques, miroirs, TD EM7 sur le mouvement de charges dans un conducteur, EM7 sur le mouvement de charges dans un conducteur, TD EM5-EM6 sur le dipole et le champ magnétique, TD EM4 sur les conducteurs, condensateurs, EM4 sur les conducteurs en équilibre, les condensateurs, TD EM2 sur le potentiel et l'énergie électrostatiques, Une ressource pour le programme 2012 de terminale : convertisseur analogique-numérique, EM2 Potentiel et énergie électrostatique, EM0 Outils mathématiques pour l'électromagnétisme. Cependant pour des corps homogènes et de formes géométriques simples, l’expression du moment d’inertie est simple : Moment d’inertie par rapport à son axe de révolution d’un cerceau de masse m et de rayon R : \(J_{\Delta} = mR^2\) ; Avec une clé à cliquet, l’endroit où l’on applique la force est déportée ce qui implique un grand bras de levier. Dans le repère la distance par rapport à l’axe Ox au carré est y2 + z2. Dans un référentiel galiléen le mouvement du centre d'inertie \(G\) d'un système est celui d'un point matériel \(G\) où serait concentrée toute la masse du système et auquel serait appliquée la résultante des forces extérieures au système. Finalement (théorème « scalaire » du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l'axe de rotation ) : \begin{equation}\begin{aligned} Soit →u le vecteur unitaire orientant un axe (Δ) passant par un point A. ∶ Longueur de la course. Ainsi l’expression de la norme du moment devient : \begin{equation}\boxed{\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = d \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|}\end{equation}. On obtient la matrice en exprimant \(\vec{\sigma_{O}}\) sous la forme : En utilisant la relation matricielle entre vecteurs vue plus haut ainsi que la relation de Chasles, on obtient : Soit un axe Δ et d la distance entre Δ et G. La formule suivante donne la relation entre le moment d’inertie par rapport à Δ et celui par rapport à l’axe parallèle à Δ mené par G. De même, par rapport à deux plan (si a et b sont les distances de G par rapport à ces plans) : Si O est un point de l’axe Δ (Oxyz orthonormé) et si u(α,β,γ) est un vecteur unitaire de Δ : On obtient la formule à partir de \(d^2 = (\vec{u}\wedge\vec{OP})^2\). Sur la figure [momentO], on voit que le \(\sin \theta\) peut être relié au bras de levier.En effet : \begin{equation}\sin \theta = \dfrac{d}{\left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right|} \Longleftrightarrow \left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right| \times \sin \theta = d\end{equation}. www.math15minutes.fr/matrice-moment-produit-inertie-guldin-huygens Le vecteur \(\overrightarrow{L_O}(M)\) semble venir vers nous dans la figure ci-dessus : ce sens est obtenu par le fait que la base (\(\overrightarrow{OM}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{L_O}(M)\)) est directe. Exprimons tout d’abord le moment cinétique en O : \begin{equation}\overrightarrow{L_O} = \overrightarrow{OM} \wedge m\,\overrightarrow{v} = Chapitre 6: Moment cinétique II THEOREME DU MOMENT CINETIQUE 3) Lois de conservation en mécanique. Calculons la matrice d’inertie d’un cylindre de masse M, de section de rayon R et de hauteur H. On nomme O le centre de la base. Nous étudierons alors un exemple d’application classique de ce théorème : le pendule simple. Réaliser une première estimation de C en utilisant les deux colonnes extrêmes du tableau précédent !. La distance par rapport au plan Oxy est z. Exercice : Chaîne sur le bord d'une table. Pour l’étude du mouvement d’un solide, les deux vecteurs sont à considérer puisque chaque point du solide aura un moment cinétique différent et/ou un vecteur quantité de mouvement différent. Une des figures classiques du patinage artistique est réalisée par le patineur tournant rapidement, sur place, autour de lui-même. On essaye donc de choisir dans la mesure du possible un point fixe. La matrice centrale d’inertie d’une ensemble est sa matrice d’inertie en son centre de gravité. Exercice : Chute d'une tartine beurrée. le cours EM12 sur le potentiel et l'énergie, Playlist vidéos sur \(\left|\begin{array}{l} Trouver la position du centre d'inertie de la plaque par deux méthodes. Pour obtenir son expression, il suffit de projeter le théorème par rapport à un point fixe. Même si on ne s’intéressera principalement qu’à la mécanique du point dans ce chapitre, nous ferons une petite parenthèse sur la mécanique du solide en parlant du moment d’inertie et de sa signification. \label{equadiff}\end{equation}. Exercice : Mouvement d'une barre autour d'un axe fixe . Dans ce cas, un terme vient s’ajouter à la formule initiale ce qui complique les calculs. Ce site est optimisé pour les dernières versions des navigateurs Firefox, Chrome ou Safari ; Les documents au format pdf peuvent être lus avec Foxit reader téléchargeable. RemarqueOn peut également utiliser ce théorème en l’appliquant en un point non fixe du référentiel. Dans le domaine du bricolage, on fait souvent appel à la notion de bras de levier, sans le savoir. Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. 10.2.6 Théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique En particulier,si R référentiel non galiléen est le référentiel barycentriqueR∗ et que le point fixe Best le point G, centre d’inertie du système,le moment des forces d’inertie de Coriolis −−−→ M(O) (−→ Fic) est nul car le Le théorème du moment dynamique: la somme des moments des forces exercées par les solides extérieurs à S sur S et des moments des couples est égale au produit du moment d'inertie du solide S par l'accélération angulaire α du solide rotation. Partenaires, Cours 2 : pratiques de la démarche scientifique, Cours 1 : lois de l'optique géométrique, Cours 2 : généralités systèmes, miroirs, Cours 1 : théorème du moment cinétique, Cours 3 : changement de référentiel, référentiels non galiléens, Cours 6 : Fonction de transfert - Fourier - filtres électrocinétiques, Cours 8 : mouvement de charges dans un conducteur, Cours 21 : théorème du moment cinétique, Définition du moment cinétique par rapport à un point, Exemple du moment cinétique en coordonnées polaires, Moment cinétique en O’ différent de O, Définition du moment d’une force par rapport à un point, Moment d’une force par rapport à un axe, Interprétation physique du moment de force, Notion de mécanique du solide : moment d’inertie, Démonstration du théorème du moment cinétique par le PFD, Théorème du moment cinétique appliqué au pendue simple, M22 : Mouvement d'un corps soumis à une force centrale, M23 : Changement de référentiels, référentiels non galiléens, Le dernier chapitre concerne le mouvement des charges dans un conducteur, Série de vidéos sur le cours EM17 où l'on présente les notions d'inductions, Série de vidéos sur le cours EM16 où l'on parle de dipôle magnétique, Série de vidéos sur le cours EM15 qui traite du champ magnétique, Série de vidéos sur le cours EM14 qui traite des conducteurs et condensateurs, Série de vidéos sur le cours EM13 qui traite du dipôle électrostatique, Playlist vidéos sur Conclusion. Devenir fort en Maths pour intégrer une prépa scientifique. Il arrive souvent que toutes les forces soient dans un même plan. \text{Sa position en coordonnées polaires est : } \overrightarrow{OM}=r\,\overrightarrow{e_r}\\ &= \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{p} + \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p}\\ a) Vrai b) Faux 10. a) Rappeler le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) : Théorème de la résultante dynamique : Fext =m×aG Théorème du moment dynamique : MG (Fext )=IG ×α Centre d’inertie Etant donné un système formé de N particules matérielles, chacune étant repérée par un On peut exprimer la norme de ce moment cinétique en fonction de l’angle que forme la droite (OM) et le vecteur \(\overrightarrow{v}\) : \begin{equation}L_O(M) = \left|\left|\overrightarrow{L_O}(M) \right|\right|=OM \times m\,v \times \sin \alpha\end{equation}. Vous êtes sur la page : Licence 1 > Mécanique 2 > Cours 21 : théorème du moment cinétique. On note . Ce qui est apprécié des juges, c’est un changement de rythme dans la vitesse de rotation : pour réaliser cela, le patineur change la répartition de sa masse en positionnant ses bras ou une jambe plus ou moins loin de son corps.En faisant cela, il modifie son moment d’inertie. Ainsi connaissant le moment d'inertie par rapport à l'un des axes, celui par rapport à l'autre axe peut être déduit. Étant donné qu’une fois la rotation engagée, la somme des moments des forces appliquées au patineur est nulle, le moment cinétique doit être constant. JA et JB représentent le moment d’inertie des cylindres a et b par rapport … Pour obtenir le même moment de force qu’avec le tournevis, la force à appliquer pour faire tourner la vis est moins importante. Si l’on se place dans un repère orthonormé Oxyz : Par exemple, la distance par rapport au plan Oyz est x. \end{array}\end{equation}, \begin{equation}\begin{aligned} Un cours assez dense sur la notion de fonction de transfert, des théories de Fourier (décomposition en série et transformée) et des filtres électriques. EXERCICE 2 (contextes d'utilisation du moment d'inertie ; à connaître par cœur) CONTEXTE 1: Le moment d'inertie intervient en dynamique du solide en rotation. &= \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{p} + \overrightarrow{L_O}(M)\end{aligned}\end{equation}, \begin{equation}\Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{L_{O'}}(M) = \overrightarrow{L_O}(M) + \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{p}}\end{equation}. Le premier théorème de König généralise le résultat précédent, en décomposant le moment cinétique d'un système par rapport à un point O en une somme de deux termes :
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